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Triângulos

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Elementos do triângulo

O triângulo é um polígono com três lados. Os três pontos não colineares são os vértices do triângulo: A, B e C.

As linhas que os unem são  os lados do triângulo: [AB], [BC] e [AC].

Um vértice e o lado (oposto) que o não contém dizem-se opostos: o lado a é oposto a A. O lado b é oposto ao lado B e o lado c é oposto a C.

Os ângulos internos do triângulo são os ângulos cujos vértices são os vértices do triângulo e os lados contêm os lados do triângulo. Assim temos três ângulos internos: ângulo ABC, ângulo ACB e ângulo BAC.

Há ainda a considerar os ângulos formados por cada lado e pelo prolongamento do outro lado, são os ângulos externos do triângulo: α, β e γ.

Classificação do triângulo

Os triângulos classificam-se...

  Quanto aos lados

3 lados iguais

é o

Triângulo

Equilátero

2 lados iguais

e 1 diferente é o
Triângulo

Isósceles

3 lados diferentes

é o

Triângulo

Escaleno

   Quanto aos ângulos
     

3 ângulos agudos

é o

Triângulo
acutângulo

1ângulo recto

é o

Triângulo
rectângulo

1 ângulo obtuso

é o

Triângulo obtusângulo

 

 

Propriedades dos elementos dum triângulo


A Desigualdade Triangular

É sempre possível construir um triângulo dados os comprimentos dos três lados? Observa as imagens (medidas em cm).

 

 

Não

 

 

10

   6    2

 

                          

 

Não

10

6                            4

 

Sim

 

  6                                       8     

10

Conclusão: O comprimento do maior dos lados tem de ser menor que a soma dos comprimentos dos lados de menor comprimento.

 

De um modo geral, temos a DESIGUALDADE TRIANGULAR

Num triângulo o comprimento de qualquer lado é menor que a soma dos outros dois.

 

Mas também...

O comprimento de qualquer lado é maior que a diferença entre os comprimentos dos outros dois.

 

Propriedade dos ângulos internos do triângulo.
A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º (igual a um ângulo raso).
 

 

 

 

 

Propriedade do ângulo externo

Todo o ângulo externo de um triângulo é igual à soma das amplitudes dos outros dois ângulos internos não adjacentes ao mesmo.
   

Demonstração: Pela propriedade dos ângulos internos

 

mas

  
 


porque são ângulos suplementares
(a soma das suas amplitudes é 180º)

                           

                     comparando as duas igualdades

 

 

então

 

 

 

Como se relacionam os lados e os ângulos de um triângulo?
     

O triângulo [ABC] é isósceles uma vez  que . A recta r é um eixo de simetria pois dobrando o triângulo [ABC] pela recta r, constata-se que os dois triângulos obtidos, [DBA] e [DBC] são geome-tricamente iguais. Têm os ângulos e os lados geometricamente iguais.
 

Sabia-se que e  verifica-se agora que  sendo o ângulo A o ângulo oposto ao lado [BC] e o ângulo C o ângulo oposto ao lado [AB].

Assim, aos dois ângulos iguais opõem-se os dois lados iguais.

De um modo geral:

  

 

Num triângulo, a ângulos iguais opõem-se lados iguais e a lados iguais opõem-se ângulos iguais.